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repére frenet
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repére frenet
une étudiant ne comprends pas très bien paragraphe repére Frenet
Et a envoyé une question au professeur anoua
bonjour mon prof anoua, tu peux m'expliquer cette partie: "le repère de
frenet" par ce que je ne comprend pas bien. et je veux remercier pour
cela.
reponse de prof anoua
On se place en
un point M .le repère de Frenet est muni d'une base:
Premier vecteur t unitaire tangent à la courbe, il est dirigé dans le sens du mouvement. Il porte le nom de vecteur tangent unitaire à la courbe et est noté traditionnellement t
Deuxième vecteur n normal à t
Troisième vecteur b tel que b= t vectoriel n
Pour bien comprendre l'utilisation de ce repère voir fichier ci-joint
Exercice : vitesse, accélération, repère de Frenet :
On
donne les équations paramétriques de la trajectoire plane d'un point
mobile par rapport à un référentiel : x= 2t et y= 4t²-4t
-Déterminer l'équation de la trajectoire.
-Calculer la vitesse du mobile.
-Montrer que son accélération est constante.
-Déterminer les composantes normale et tangentielle de l'accélération dans un repère de Frenet.
-En déduire le rayon de courbure.
corrigé
éliminer le temps entre x et y : t= ½x ; report dans y
y= x²-2x trajectoire parabolique.
vecteur vitesse : dérivée par rapport au temps du vecteur position v (dx/dt = 2 ; dy/dt = 8t-4)
valeur (norme) de la vitesse : v² = vx²+vy² =4+(8t-4)² = 64t²-64t-20 en m s-1.
vecteur accélération : dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse a (dvx/dt = 0 ; dvy/dt =
valeur (norme) de l'accélération : a² = ax²+ay² =0+8² soit a = 8 m s-2, indépendante du temps.
vecteur accélération tangentielle, colinéaire au vecteur vitesse :
aT=dv/dt avec v = [4+(8t-4)²]½.
aT= dv/dt = 16(8 t -4)*½* [4+(8t-4)²]-½=8(8 t -4) [4+(8t-4)²]-½.
a² = a²T+ a²N soit a²N = a²-a²T= 8² -8²(8 t -4)² [4+(8t-4)²]-1.
réduire au même dénominateur [4+(8t-4)²] :
a²N =8²*4 [4+(8t-4)²]-1 soit aN= 16[4+(8t-4)²]-½.
le rayon de courbure r est liée à l'accélération normale aN et à la vitesse v : aN = v²/r .
r = v² / aN = [4+(8t-4)²]-3/2 /16.
رد: repére frenet
le problème n°2 de la série 4 sera traité en cours
Anoua- المدير العام
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